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By Thomas Muir, revised by W.H. Metzler

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The Magic of Numbers

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Often, \$p\$-adic \$L\$-functions were constituted of complicated \$L\$-functions through specified values and Iwasawa idea. during this quantity, Perrin-Riou offers a idea of \$p\$-adic \$L\$-functions coming without delay from \$p\$-adic Galois representations (or, extra regularly, from motives). This idea encompasses, specifically, a building of the module of \$p\$-adic \$L\$-functions through the mathematics concept and a conjectural definition of the \$p\$-adic \$L\$-function through its detailed values.

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Example text

P(6) in Abhăngigkeit von P(1). 6. Durch Berechnung der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten nehme man Stellung zum folgenden Argument: Beim dreimaligen Wiirfeln sind die Ereignisse "die Augensumme ist 11" und "die Augensumme ist 12" gleichwahrscheinlich, da beide Summen auf sechs Arten dargestellt werden konnen. ) 7. Man berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beim viermaligen Werfen eines Wiirfels a) das Maximum der erhaltenen Augenzahlen gleich 4 ist, b) das Minimum der erhaltenen Augenzahlen kleiner oder gleich 4 ist.

Dann falit der vorletzte Faktor durch Summation liber Wn_ 1 weg, usw. SchlieBlich erhalten wir = P1 ('r/1) · ... · P; (Tii 1 'T/1, ... , 'r/i-1) . 16) gilt. 17) durch Einsetzen in die Definitionsgleichung der bedingten Wahrscheinlichkeit. Summiert man liber alle (w 1 , ... ,wn), so folgt ebenso L:P(w) = 1. P(w) ~O ist trivial. 4). O Kapitel I Diskrete 34 Wahrscheinlichkeitsrăume Die Moglichkeit zu vorgegebenen Werten von P1 (wi) und Pi (wi 1 w1, ... 17) zu konstruieren, kann man als Rechtfertigung fur Rechnungen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten ansehen, die unmittelbar cler Versuchsanordnung entnommen werden.

I =f. 5 (i) Jede Teilfamilie einer unabhiingigen Familie von Ereignissen ist unabhiingig. Eine Familie ist genau dann unabhiingig, wenn jede endliche Teilfamilie unabhiingig ist. (ii) Ist {Ai, i E I} eine Familie von unabhiingigen Ereignissen, k ein nicht zu I gehOriger Index, und P(Ak) =O oder P(Ak) = 1, so ist auch {Ai,i E IU{k}} unabhiingig. (iii) Ist {Ai, iEI} ist {Ei, iEI} unabhăngig und fur jedes i Bi eines der Ereignisse Ai, Ai, 0, O, so unabhăngig. (iv) Ist I = {1, ... , n} endlich, so ist {Ai, i E I} gen au dann unabhiingig, wenn fur jede Wahl von BiE {Ai, Ai} die Produktformel fur B1, ...